Π: entre la cuadratura del círculo y el infinito

Hoy es el Día de π (Pi-Day), una invención creada por el estadounidense Larry Shaw, cuya elección, como es lógico, se basa en la fecha del 14 de marzo (3/14, en la notación habitual de los sajones). La efeméride cuenta cada vez con mayor aceptación y se celebra ya en muchas universidades y en muchos museos de ciencia del mundo, dado que además coincide con la fecha del nacimiento de Albert Eistein (14 de marzo de 1879).

Para nosotros π es esa letra griega que, antes de estudiar griego, nos encontrábamos de niños en la fórmula de la longitud de la circunferencia (2πr) o del área del círculo (πr2), pero que para un matemático o un físico está, por ejemplo, en la fórmula de la 3ª ley de Kepler y a la vez en el principio de indeterminación de Heisenberg; y así mismo en otra multitud de fórmulas físicas y matemáticas que tienen que ver con esferas, cilindros, elipsoides, funciones extrañas y muchas cosas que para nosotros son solo nombres, pero que rigen el funcionamiento del ordenador con el que escribo esto o del teléfono móvil que manejamos todos los días (una famosa fórmula que contiene π, propuesta en 1910 por Ramanujan, ese matemático cuya vida reproducía la reciente película de Matt Brown El hombre que conocía el infinito, rige, con un desarrollo ulterior, los cálculos simples de los ordenadores de la actualidad).

Π está lleno de secretos. Un día hablábamos de Platón, de sus trucos matemáticos en el Menón, y mencionábamos una característica que comparte π, la de ser un número irracional, un número de decimales infinitos cuya secuencia no se repite periódicamente.

Pero si traigo hoy π aquí no es porque represente la relación constante entre la longitud de la circunferencia y su diámetro, sino porque en su búsqueda los matemáticos griegos y los que vinieron después gastaron montones de energías con el fin de descubrir la cuadratura del círculo, es decir, la construcción de una superficie cuadrada que tuviera la misma extensión que otra circular. Pretendían encontrar un procedimiento puro, muy del gusto de la filosofía platónica, de construir ese cuadrado equivalente a un círculo usando la regla y el compás. Lo intentaron también en la Antigüedad los matemáticos egipcios, los babilonios, los indios, los chinos… y se ha seguido estudiando hasta nuestros días para llegar a comprender su imposibilidad.

En ese recorrido hay alguien con nombre propio, Arquímedes, un genio siracusano que vivió en el s. III a. C. Aunque con bastantes oscuridades, conocemos datos de su vida. Polibio, Plutarco, e incluso Cicerón y Tito Livio dan información y detalles sobre sus estudios y su persona, pero una fuente sustancial es el comentario que sobre su obra hizo Eutocio en el siglo VI. Arquímedes trató estos temas en sus obras De sphaera et cylindro y Dimensio circuli (los títulos fueron dados en latín a posteriori). En las proposiciones 2 y 3 de su Dimensio circuli logró la mejor aproximación al número π conseguida hasta su época siguiendo un método complejo, que no podemos reproducir aquí, basado en calcular el área de un polígono con muchos lados (en su caso hasta 96) inscrito en una circunferencia. Situó π entre 3,140845 y 3,142857, una horquilla cuya precisión no fue superada hasta Ptolomeo, que siguió el mismo procedimiento (en su caso con un polígono de 120 lados). Es muy larga la lista de matemáticos famosos que siguieron abordando el problema. Nombres tan conocidos como Fibonacci, Al-Khwarizmi, Leibniz, Newton o Euler están junto a otros muchos en esa nómina.

Pero al principio ese número buscado de imposible precisión no se llamaba así. El primero en utilizar el nombre de  fue William Oughtred (1574-1660) y lo hicieron después Isaac Barrow (1630-1677) y David Gregory (1659-1708), pero fue el matemático galés William Jones (1675-1749) el que consagró definitivamente ese nombre para la constante en su Synopsis Palmariorum Matheseos, or a new introduction to the mathematics. Π corresponde a la inicial de περιφέρεια, el nombre griego de la circunferencia (también se usa para ‘curva’).

Y ahora una curiosidad de esas que hoy nos ofrece la red. Si alguien está interesado en conocer en qué lugar de la cadena de decimales de π está una secuencia de números, por ejemplo, su fecha de nacimiento, no tiene más que acudir a The Pi-Search Page (pincha aquí) y ver si se encuentra esa secuencia entre los 200 millones de primeros dígitos decimales de π. Si alguien, por ejemplo Eistein, ha nacido tal día como hoy en 1879, e introduce “14031879” obtendrá esta respuesta: “The string 14031879 occurs at position 74434701. This string occurs 2 times in the first 200M digits of Pi counting from the first digit after the decimal point. The 3. is not counted”. La página no encuentra cualquier secuencia si no está en esos “primeros” decimales. Por ejemplo, no encuentra 0123456789, pero ya se sabe que esa secuencia se halla en el decimal 17.387.594.880 de π, al que no llega la página.

¿Os acordáis de La biblioteca de Babel de Borges? Eso parece π en números, en vez de en letras. Sus decimales parecen seguir creciendo y creciendo sin límite hasta llenar todos los cubículos y todas las posibilidades de la biblioteca… y de todas las bibliotecas del universo.

Pero todavía no lo sabemos. Me dice una matemática muy conocida mía que parece que π, con lo que sabemos hasta ahora, es lo que se llama en matemáticas un “número normal” (pincha aquí para ver su definición, con una tabla al respecto sobre π) y, como consecuencia, que toda combinación finita de números debe, por tanto, aparecer al menos una vez en su desarrollo. Sin embargo, la “normalidad” de π es algo que no se ha demostrado, como tampoco esa condición. La intuición y los datos que se tienen hasta ahora dicen que sí, que toda combinación está. Pero al no estar demostrado, a lo mejor existe una combinación finita (¡pero no necesariamente pequeña!) que no aparece nunca, por lejos que vayas… Y sigue el misterio.

[Los interesados pueden encontrar todo esto y mucho más sobre π en muchos libros. Mi fuente principal ha sido el libro de Joaquín Navarro (2011) Los secretos del número π. ¿Por qué es imposible la cuadratura del círculo?, RBA. También puede ser de vuestro interés: S. Cuomo (2001), Ancient Mathematics, Rouletge; y L. Hodgkin (2005), A History of Mathematics. From Mesopotamia to Modernity, Oxford. Y, por supuesto, las obras de Arquímedes, de las que hay muchas y variadas traducciones, también al español].

Agustín Ramos Guerreira

La imagen que encabeza la entrada ha sido tomada en el Edificio de Matemáticas de la Universidad de Salamanca. Agradecemos a Ibor Blázquez la fotografía.


		
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(Los trucos de) Platón y las matemáticas

En las primeras semanas del comienzo del curso leí en un par de periódicos una noticia sobre la importancia del estudio de las matemáticas en el mundo actual y sobre la necesidad de matemáticos para las nuevas tecnologías. Eso me hizo recordar a Platón y aquella noticia de varios comentaristas de Aristóteles y algunos otros escritores tardíos (Elias, Filópomo, Pseudo Galeno, etc.) en la que se nos transmite que en la Academia platónica se aconsejaba que no entrase nadie que no supiese geometría (“ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω”). Quizá la noticia no sea del todo cierta y se creara posteriormente, pero recoge un sustrato esencial de la filosofía platónica.

Pero Platón, aunque intuía y defendía su estudio como fundamental, no era un matemático muy depurado. Un ejemplo curioso. En un fragmento del Menón (82a-85c), Sócrates trata de convencer a Menón de que el conocimiento no es un aprendizaje, sino un descubrimiento, un recuerdo de lo que tenemos en nuestro interior (acordaos del mito de la caverna y del mundo de las ideas), y para ello utiliza como prueba hacer “descubrir” a un esclavo la solución a un problema de matemáticas sin decírsela.

Sócrates dibuja un cuadrado de 2 pies de lado y lo divide en cuatro partes iguales mediante líneas paralelas a los lados (figura 1), o sea, dibujando sus apotemas, que se decía cuando yo estudié. Y pregunta al esclavo cuántos cuadrados de 1 pie de lado contendrá el cuadrado inicial. El esclavo cuenta los cuadrados y responde que 4. Sócrates le incita a que diga cuál será la longitud del lado de un cuadrado que tenga el doble de superficie que el de 2 pies de lado (o sea, 8 pies cuadrados). Lo que Sócrates pregunta al esclavo es que diga cuánto debe medir cada lado de ese cuadrado, exactamente “de qué tamaño será cada línea de él” (“πηλίκη τις ἔσται ἐκείνου ἡ γραμμὴ ἑκάστη”). Siguiendo su método, Sócrates va guiando al esclavo para que vaya diciendo lo que debe; su intención es convencer a Menón de que todo lo adivina el esclavo.

fig1Figura 1

El esclavo prueba a dar respuestas distintas a medida que Sócrates le pregunta. Primero dice que, para que el cuadrado mida el doble, el lado debe medir el doble, 4 pies, y Sócrates le hace ver que de esa manera obtendrá una superficie cuatro veces mayor (16 pies cuadrados). Después responde que, en ese caso, deberá medir 3 pies; y Sócrates le replica que así obtendrá una superficie de 9 pies cuadrados, pero no del doble (que serían 8 pies cuadrados).

Al final, hace observar al esclavo que, si divide el cuadrado usando las diagonales en vez de las apotemas (figura 2), cada fragmento medirá también 1 pie cuadrado. Y si traza un cuadrado exterior tangente a los vértices del cuadrado con paralelas a las diagonales (figura 3; él no lo dice así, como podéis imaginar), resulta tener exactamente el doble de superficie que el propuesto (ocho triángulos de 1 pie cuadrado de los que al principio tenía cuatro). Y el esclavo, dice Sócrates, lo adivina…

fig-2Figura 2

 fig-3Figura 3

Pero aquí está la trampa de Platón. Lo que Sócrates preguntó era la medida exacta del lado de ese cuadrado. Y no es eso lo que el esclavo responde. Tampoco es respuesta válida la solución meramente gráfica y práctica a la que Sócrates conduce al esclavo, entre otras cosas porque tampoco podría darla: si el resultado es un cuadrado de 8 pies cuadrados, su lado medirá √8= 2,8284271247…, que es un número irracional (infinitos decimales en secuencia no periódica). Aunque parece que Platón conocía la existencia de magnitudes “irracionales” (habla de líneas irracionales [ἀλόγους … γραμμάς] en su República [534d]), o  incommensurables (“οὐ συμμέτρους”, en Teeteto [148a-b]), aquí no menciona tal cosa, sino que lo soluciona con un dibujo. Ni el esclavo ni él responden a la pregunta.

En un fragmento de su Filebo (56b-58d), Platón propone la existencia de dos tipos de aritmética y de otras ciencias, la de la mayoría de la gente y la de los filósofos. No sabría decir muy bien si aquí está empleando una o la otra.

Documentación para los interesados: S. Cuomo 2001, Ancient Mathematics (London / New York: Routledge), T. Brunés 1967, The Secrets of Ancient Geometry – And its uses. 2 vols. (Copenhagen: Rhodos).

Agustín Ramos Guerreira