Π: entre la cuadratura del círculo y el infinito

Hoy es el Día de π (Pi-Day), una invención creada por el estadounidense Larry Shaw, cuya elección, como es lógico, se basa en la fecha del 14 de marzo (3/14, en la notación habitual de los sajones). La efeméride cuenta cada vez con mayor aceptación y se celebra ya en muchas universidades y en muchos museos de ciencia del mundo, dado que además coincide con la fecha del nacimiento de Albert Eistein (14 de marzo de 1879).

Para nosotros π es esa letra griega que, antes de estudiar griego, nos encontrábamos de niños en la fórmula de la longitud de la circunferencia (2πr) o del área del círculo (πr2), pero que para un matemático o un físico está, por ejemplo, en la fórmula de la 3ª ley de Kepler y a la vez en el principio de indeterminación de Heisenberg; y así mismo en otra multitud de fórmulas físicas y matemáticas que tienen que ver con esferas, cilindros, elipsoides, funciones extrañas y muchas cosas que para nosotros son solo nombres, pero que rigen el funcionamiento del ordenador con el que escribo esto o del teléfono móvil que manejamos todos los días (una famosa fórmula que contiene π, propuesta en 1910 por Ramanujan, ese matemático cuya vida reproducía la reciente película de Matt Brown El hombre que conocía el infinito, rige, con un desarrollo ulterior, los cálculos simples de los ordenadores de la actualidad).

Π está lleno de secretos. Un día hablábamos de Platón, de sus trucos matemáticos en el Menón, y mencionábamos una característica que comparte π, la de ser un número irracional, un número de decimales infinitos cuya secuencia no se repite periódicamente.

Pero si traigo hoy π aquí no es porque represente la relación constante entre la longitud de la circunferencia y su diámetro, sino porque en su búsqueda los matemáticos griegos y los que vinieron después gastaron montones de energías con el fin de descubrir la cuadratura del círculo, es decir, la construcción de una superficie cuadrada que tuviera la misma extensión que otra circular. Pretendían encontrar un procedimiento puro, muy del gusto de la filosofía platónica, de construir ese cuadrado equivalente a un círculo usando la regla y el compás. Lo intentaron también en la Antigüedad los matemáticos egipcios, los babilonios, los indios, los chinos… y se ha seguido estudiando hasta nuestros días para llegar a comprender su imposibilidad.

En ese recorrido hay alguien con nombre propio, Arquímedes, un genio siracusano que vivió en el s. III a. C. Aunque con bastantes oscuridades, conocemos datos de su vida. Polibio, Plutarco, e incluso Cicerón y Tito Livio dan información y detalles sobre sus estudios y su persona, pero una fuente sustancial es el comentario que sobre su obra hizo Eutocio en el siglo VI. Arquímedes trató estos temas en sus obras De sphaera et cylindro y Dimensio circuli (los títulos fueron dados en latín a posteriori). En las proposiciones 2 y 3 de su Dimensio circuli logró la mejor aproximación al número π conseguida hasta su época siguiendo un método complejo, que no podemos reproducir aquí, basado en calcular el área de un polígono con muchos lados (en su caso hasta 96) inscrito en una circunferencia. Situó π entre 3,140845 y 3,142857, una horquilla cuya precisión no fue superada hasta Ptolomeo, que siguió el mismo procedimiento (en su caso con un polígono de 120 lados). Es muy larga la lista de matemáticos famosos que siguieron abordando el problema. Nombres tan conocidos como Fibonacci, Al-Khwarizmi, Leibniz, Newton o Euler están junto a otros muchos en esa nómina.

Pero al principio ese número buscado de imposible precisión no se llamaba así. El primero en utilizar el nombre de  fue William Oughtred (1574-1660) y lo hicieron después Isaac Barrow (1630-1677) y David Gregory (1659-1708), pero fue el matemático galés William Jones (1675-1749) el que consagró definitivamente ese nombre para la constante en su Synopsis Palmariorum Matheseos, or a new introduction to the mathematics. Π corresponde a la inicial de περιφέρεια, el nombre griego de la circunferencia (también se usa para ‘curva’).

Y ahora una curiosidad de esas que hoy nos ofrece la red. Si alguien está interesado en conocer en qué lugar de la cadena de decimales de π está una secuencia de números, por ejemplo, su fecha de nacimiento, no tiene más que acudir a The Pi-Search Page (pincha aquí) y ver si se encuentra esa secuencia entre los 200 millones de primeros dígitos decimales de π. Si alguien, por ejemplo Eistein, ha nacido tal día como hoy en 1879, e introduce “14031879” obtendrá esta respuesta: “The string 14031879 occurs at position 74434701. This string occurs 2 times in the first 200M digits of Pi counting from the first digit after the decimal point. The 3. is not counted”. La página no encuentra cualquier secuencia si no está en esos “primeros” decimales. Por ejemplo, no encuentra 0123456789, pero ya se sabe que esa secuencia se halla en el decimal 17.387.594.880 de π, al que no llega la página.

¿Os acordáis de La biblioteca de Babel de Borges? Eso parece π en números, en vez de en letras. Sus decimales parecen seguir creciendo y creciendo sin límite hasta llenar todos los cubículos y todas las posibilidades de la biblioteca… y de todas las bibliotecas del universo.

Pero todavía no lo sabemos. Me dice una matemática muy conocida mía que parece que π, con lo que sabemos hasta ahora, es lo que se llama en matemáticas un “número normal” (pincha aquí para ver su definición, con una tabla al respecto sobre π) y, como consecuencia, que toda combinación finita de números debe, por tanto, aparecer al menos una vez en su desarrollo. Sin embargo, la “normalidad” de π es algo que no se ha demostrado, como tampoco esa condición. La intuición y los datos que se tienen hasta ahora dicen que sí, que toda combinación está. Pero al no estar demostrado, a lo mejor existe una combinación finita (¡pero no necesariamente pequeña!) que no aparece nunca, por lejos que vayas… Y sigue el misterio.

[Los interesados pueden encontrar todo esto y mucho más sobre π en muchos libros. Mi fuente principal ha sido el libro de Joaquín Navarro (2011) Los secretos del número π. ¿Por qué es imposible la cuadratura del círculo?, RBA. También puede ser de vuestro interés: S. Cuomo (2001), Ancient Mathematics, Rouletge; y L. Hodgkin (2005), A History of Mathematics. From Mesopotamia to Modernity, Oxford. Y, por supuesto, las obras de Arquímedes, de las que hay muchas y variadas traducciones, también al español].

Agustín Ramos Guerreira

La imagen que encabeza la entrada ha sido tomada en el Edificio de Matemáticas de la Universidad de Salamanca. Agradecemos a Ibor Blázquez la fotografía.


		
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Borges: sobre la traducción

La traducción es una de las tareas fundamentales de un filólogo clásico. Para no olvidarlo podemos leer este fragmento de Las versiones homéricas, que Jorge Luis Borges escribió  en 1932. Puedes leer el texto completo aquí.

Ningún problema tan consustancial con las letras y con su modesto misterio como el que propone una traducción. Un olvido animado por la vanidad, el temor de confesar procesos mentales que adivinamos peligrosamente comunes, el conato de mantener intacta y central una reserva incalculable de sombra, velan las tales escrituras directas. La traducción, en cambio, parece destinada a ilustrar la discusión estética. El modelo propuesto a su imitación es un texto visible, no un laberinto inestimable de proyectos pretéritos o la acatada tentación momentánea de una facilidad. Bertrand Russell define un objeto externo como un sistema circular, irradiante, de impresiones posibles; lo mismo puede aseverarse de un texto, dadas las repercusiones incalculables de lo verbal. Un parcial y precioso documento de las vicisitudes que sufre queda en sus traducciones. ¿Qué son las muchas de la Ilíada de Chapman a Magnien sino diversas perspectivas de un hecho móvil, sino un largo sorteo experimental de omisiones y de énfasis? (No hay esencial necesidad de cambiar de idioma, ese deliberado juego de la atención no es imposible dentro de una misma literatura.) Presuponer que toda recombinación de elementos es obligatoriamente inferior a su original, es presuponer que el borrador 9 es obligatoriamente inferior al borrador H -ya que no puede haber sino borradores. El concepto de texto definitivo no corresponde sino a la religión o al cansancio. La superstición de la inferioridad de las traducciones -amonedada en el consabido adagio italiano- procede de una distraída experiencia. No hay un buen texto que no parezca invariable y definitivo si lo practicamos un número suficiente de veces. Hume identificó la idea habitual de causalidad con la sucesión. Así un buen film, visto una segunda vez, parece aun mejor; propendemos a tomar por necesidades las que no son más que repeticiones. Con los libros famosos, la primera vez ya es segunda, puesto que los abordarnos sabiéndolos. La precavida frase común de releer a los clásicos resulta de inocente veracidad. Ya no sé si el informe: En un lugar de la Mancha, de cuyo nombre no quiero acordarme, no ha mucho tiempo que vivía un hidalgo de los de lanza en astillero, adarga antigua, rocín flaco y galgo corredor, es bueno para una divinidad imparcial; sé únicamente que toda modificación es sacrílega y que no puedo concebir otra iniciación del Quijote. Cervantes, creo, prescindió de esa leve superstición, y tal vez no hubiera identificado ese párrafo. Yo, en cambio, no podré sino repudiar cualquier divergencia. El Quijote, debido a mi ejercicio congénito del español, es un monumento uniforme, sin otras variaciones que las deparadas por el editor, el encuadernador y el cajista; la Odisea, gracias a mi oportuno desconocimiento del griego, es una librería internacional de obras en prosa y verso, desde los pareados de Chapman hasta la Authorized Versión de Andrew Lang o el drama clásico francés de Bérard o la saga vigorosa de Morris o la irónica novela burguesa de Samuel Butler. Abundo en la mención de nombres ingleses, porque las letras de Inglaterra siempre intimaron con esa epopeya del mar, y la serie de sus versiones de la Odisea bastaría para ilustrar su curso de siglos. Esa riqueza heterogénea y hasta contradictoria no es principalmente imputable a la evolución del inglés o a la mera longitud del original o a los desvíos o diversa capacidad de los traductores, sino a esta circunstancia, que debe ser privativa de Homero: la dificultad categórica de saber lo que pertenece al poeta y lo que pertenece al lenguaje. A esa dificultad feliz debemos la posibilidad de tantas versiones, todas sinceras, genuinas y divergentes.