(Los trucos de) Platón y las matemáticas

En las primeras semanas del comienzo del curso leí en un par de periódicos una noticia sobre la importancia del estudio de las matemáticas en el mundo actual y sobre la necesidad de matemáticos para las nuevas tecnologías. Eso me hizo recordar a Platón y aquella noticia de varios comentaristas de Aristóteles y algunos otros escritores tardíos (Elias, Filópomo, Pseudo Galeno, etc.) en la que se nos transmite que en la Academia platónica se aconsejaba que no entrase nadie que no supiese geometría (“ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω”). Quizá la noticia no sea del todo cierta y se creara posteriormente, pero recoge un sustrato esencial de la filosofía platónica.

Pero Platón, aunque intuía y defendía su estudio como fundamental, no era un matemático muy depurado. Un ejemplo curioso. En un fragmento del Menón (82a-85c), Sócrates trata de convencer a Menón de que el conocimiento no es un aprendizaje, sino un descubrimiento, un recuerdo de lo que tenemos en nuestro interior (acordaos del mito de la caverna y del mundo de las ideas), y para ello utiliza como prueba hacer “descubrir” a un esclavo la solución a un problema de matemáticas sin decírsela.

Sócrates dibuja un cuadrado de 2 pies de lado y lo divide en cuatro partes iguales mediante líneas paralelas a los lados (figura 1), o sea, dibujando sus apotemas, que se decía cuando yo estudié. Y pregunta al esclavo cuántos cuadrados de 1 pie de lado contendrá el cuadrado inicial. El esclavo cuenta los cuadrados y responde que 4. Sócrates le incita a que diga cuál será la longitud del lado de un cuadrado que tenga el doble de superficie que el de 2 pies de lado (o sea, 8 pies cuadrados). Lo que Sócrates pregunta al esclavo es que diga cuánto debe medir cada lado de ese cuadrado, exactamente “de qué tamaño será cada línea de él” (“πηλίκη τις ἔσται ἐκείνου ἡ γραμμὴ ἑκάστη”). Siguiendo su método, Sócrates va guiando al esclavo para que vaya diciendo lo que debe; su intención es convencer a Menón de que todo lo adivina el esclavo.

fig1Figura 1

El esclavo prueba a dar respuestas distintas a medida que Sócrates le pregunta. Primero dice que, para que el cuadrado mida el doble, el lado debe medir el doble, 4 pies, y Sócrates le hace ver que de esa manera obtendrá una superficie cuatro veces mayor (16 pies cuadrados). Después responde que, en ese caso, deberá medir 3 pies; y Sócrates le replica que así obtendrá una superficie de 9 pies cuadrados, pero no del doble (que serían 8 pies cuadrados).

Al final, hace observar al esclavo que, si divide el cuadrado usando las diagonales en vez de las apotemas (figura 2), cada fragmento medirá también 1 pie cuadrado. Y si traza un cuadrado exterior tangente a los vértices del cuadrado con paralelas a las diagonales (figura 3; él no lo dice así, como podéis imaginar), resulta tener exactamente el doble de superficie que el propuesto (ocho triángulos de 1 pie cuadrado de los que al principio tenía cuatro). Y el esclavo, dice Sócrates, lo adivina…

fig-2Figura 2

 fig-3Figura 3

Pero aquí está la trampa de Platón. Lo que Sócrates preguntó era la medida exacta del lado de ese cuadrado. Y no es eso lo que el esclavo responde. Tampoco es respuesta válida la solución meramente gráfica y práctica a la que Sócrates conduce al esclavo, entre otras cosas porque tampoco podría darla: si el resultado es un cuadrado de 8 pies cuadrados, su lado medirá √8= 2,8284271247…, que es un número irracional (infinitos decimales en secuencia no periódica). Aunque parece que Platón conocía la existencia de magnitudes “irracionales” (habla de líneas irracionales [ἀλόγους … γραμμάς] en su República [534d]), o  incommensurables (“οὐ συμμέτρους”, en Teeteto [148a-b]), aquí no menciona tal cosa, sino que lo soluciona con un dibujo. Ni el esclavo ni él responden a la pregunta.

En un fragmento de su Filebo (56b-58d), Platón propone la existencia de dos tipos de aritmética y de otras ciencias, la de la mayoría de la gente y la de los filósofos. No sabría decir muy bien si aquí está empleando una o la otra.

Documentación para los interesados: S. Cuomo 2001, Ancient Mathematics (London / New York: Routledge), T. Brunés 1967, The Secrets of Ancient Geometry – And its uses. 2 vols. (Copenhagen: Rhodos).

Agustín Ramos Guerreira

 

 

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